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數(shù)學(xué)思維——從已知走向未知的道路

發(fā)布時間：2023/10/31 14:14:13

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大家好！我是劉德禹老師，今天想從我的自身學(xué)習(xí)與教學(xué)經(jīng)歷上談一談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要的思路方法。我認為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)的思考邏輯應(yīng)該是相近的，通往真理的道路也許不止一條，但方向總是相同的。希望家長朋友們和同學(xué)們能從中得到一些印證

經(jīng)過了初等數(shù)學(xué)的熏陶與訓(xùn)練，感知了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)美發(fā)散與思維碰撞，又在教學(xué)經(jīng)歷中見證了許多學(xué)生在數(shù)學(xué)上面對的困境與不足，我認為不少同學(xué)在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可能普遍還存在著這樣一個困惑：數(shù)學(xué)學(xué)科到底在學(xué)習(xí)什么？

如果說小學(xué)階段數(shù)學(xué)的核心任務(wù)是認識數(shù)量關(guān)系、練習(xí)計算能力，是算術(shù)的筑基階段，那么初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“登堂入室”，正在跨越初等數(shù)學(xué)大門的門檻。這個門檻其實就是解決問題的邏輯思維能力，或者說，數(shù)學(xué)邏輯思維能力，我們的最終目的就是解決問題，當然，公式或者圖形不像日常生活中的買菜做飯這么具象，但步驟和過程是可以以此類比的

具體地來說，就像要蓋一間房子，需要準備材料、畫好圖紙，再從地基開始一點一點構(gòu)建一樣，解決數(shù)學(xué)問題也要先掌握公理與定理，熟悉結(jié)論與公式，再形成分析問題的思路。無論是代數(shù)、幾何還是函數(shù)問題，我們都是從這一邏輯出發(fā)來解決相應(yīng)的問題。

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遇到任何一個推理性的問題，可以嘗試著按照以下問題提問自己：

①觀察未知量——仔細觀察，未知量是什么？

②觀察已知量——再看，已知量是什么？

③已知量和未知量怎么發(fā)生聯(lián)系？有時聯(lián)想做過題目，有時聯(lián)想定理公式，有時分解定義，有時拆分一個個條件，有時更改題設(shè)，有時結(jié)論反推。

這整個過程，和在荒島上建造一座房子的過程十分相似：
①（未知數(shù)）緊盯目標，要一座房子
②（已知條件）有什么材料或者工具
③（聯(lián)系）怎么用手頭這些材料建造一個房子出來？
首先思考未知數(shù)：房子是什么？我曾經(jīng)造過房子嗎？我記得在書中小明曾經(jīng)建過一個房子，他是怎么建的？
然后思考已知條件：我有木頭、斧子、釘子，這些東西有什么用途？我以前用過嗎？
然后尋找聯(lián)系：怎樣從這些材料到建造房子呢？報一個木屋建造培訓(xùn)班？尋找一些以往建房子的資料模仿一下？回到定義看看是不是房子的定義中就有一些建造的方向？

如果以上還是沒有想出來，沒關(guān)系，那就看答案吧。著重關(guān)注，答案是怎么想出這個結(jié)論的，每看一步答案，就要提問自己，“這一步怎么想到的？為什么自己在思考過程中沒有想到？”大多數(shù)情況下，有兩個原因：

1.對條件的積累不足，也就是說，你還沒有徹底理解哪些木頭斧子釘子是拿來干什么的以及曾經(jīng)用來干過什么；

2.未知量的積累不足，反推建造一個房子需要什么材料和手續(xù)，你完全沒有相應(yīng)的積累，當然想不出來。

而具有數(shù)學(xué)邏輯思維能力的人，他們用無數(shù)種材料建造過無數(shù)類型的房子，并且這一切深深地刻在他們的腦海里，無論出現(xiàn)材料還是房子，無論是木屋、別墅、高樓大廈，他們都能聯(lián)想到曾經(jīng)實施過種種方案，甚至，在這無數(shù)種方案中，能找到一條非常新鮮的組合創(chuàng)新方案！

換言之，這個過程也解釋了這個問題：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只刷題？因為刷題主要是為了積累案例，積累模型，熟練知識為了以后看到條件或者未知數(shù)能夠被觸發(fā)。如果沒有以上的思考過程，刷題只是一個重復(fù)性的程序，帶來的效果可能僅是期望于在碰到換數(shù)據(jù)的相同題型時可以免去重新思考這樣一個優(yōu)勢，是事倍功半的做法。

總而言之，初等數(shù)學(xué)階段的學(xué)習(xí)目標仍然是解決問題，并且這個問題不會太過于抽象。正因如此，模仿--推導(dǎo)--實現(xiàn)的路徑仍然是高效且實用的。如果說在培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力的道路上，終點是進入數(shù)學(xué)與真理的殿堂的話，當我們能夠有意識、有規(guī)劃地造出一間間“房子”，形成一座座摩天樓之后，我們會發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)悄然置身于殿堂之內(nèi)。

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